已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，(a－2x的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x

题文

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c，(a<0)不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)∵不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)，
∴x＝1和x＝3是方程ax²＋(b＋2)x＋c＝0(a<0)的两根，
∴，∴b＝－4a－2，c＝3a，
又方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根．
∴Δ＝b²－4a(c＋6a)＝0，∴4(2a＋1)²－4a×9a＝0.
∴(5a＋1)(1－a)＝0，∴a＝－或a＝1(舍)．
∴a＝－，b＝－，c＝－，
∴f(x)＝－x²－x－.
(2)由(1)知f(x)＝ax²－2(2a＋1)x＋3a
＝a²－＋3a
＝a²＋
∵a<0，
∴f(x)的最大值为，
∵f(x)的最大值为正数．
∴
∴解得a<－2－或－2＋∴所求实数a的取值范围是∪(－2＋，0)．

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点