对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，函数都满足不等式，若函数为奇函数，则不等式的解集为 ( )A．　B．C．D．

题文

对任意x₁，x₂∈R，当x₁≠x₂时，函数

都满足不等式

，若函数

为奇函数，则不等式

的解集为                    (    )A．

B．

C．

D．

题型：未知 难度：其他题型

答案

A

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解析

分析：先利用不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得到函数f（x）是定义在R上的减函数；再利用函数f（x+1）是定义在R上的奇函数得到函数f（x）过（1，0）点，二者相结合即可求出不等式f（1-x）＜0的解集．
解：由不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得，函数f（x）是定义在R上的减函数 ①．
又因为函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，所以有函数f（x+1）过点（0，0）；
故函数f（x）过点（1，0）②．
①②相结合得：x＞1时，f（x）＜0．
故不等式f（1-x）＜0转化为1-x＞1?x＜0．
故选A．

考点

据考高分专家说，试题“对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，函.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点