题文
已知函数
，当
恒成立的a的最小值为k，存在n个
正数
，且
，任取n个自变量的值
（I）求k的值；
（II）如果
（III）如果
，且存在n个自变量的值
，使
，求证：
题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（Ⅰ）令
，则
，
，
当
时，此时在
条件下，
，
则
在
上为减函数，所以
，
所以
在
上为减函数，
所以当
时，
，即
；
当
，即
时，存在
，使得
，
当
时，
，
为减函数，则
，
即
在
上递减，则
时，
，
所以
，即
； （2分）
当
，即
时，
，
则
在
上为增函数，即当
时，
，即
；
当
，即
时，当
时，
，
则
在
上为增函数，当
时，
，即
．
综上，
，则
的最小值
． （4分）
（Ⅱ）不妨设
,
，
，
所以
在
上为增函数， （5分）
令
．
,
当
时, 因为
，所以
， （7分）
即
在
上为增函数，所以
，
则
，
则原结论成立． （8分）
（Ⅲ）（ⅰ）当
时，结论成立；
（ⅱ）假设当
结论成立，即存在
个正数
，
时，对于
个自变量的值
, 有
．
当
时，
令存在
个正数
,
，
令
，则
，
对于
个自变量的值
,
此时
． （10分）
因为
, 所以
所以
时结论也成立， （11分）
综上可得
．
当
时,
， （12分）
所以
在
上单调递增，
所以
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“已知函数，当恒成立的a的最小值为k，存在.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
