题文
(本小题满分12分)已知二次函数
的
图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数
的图象与直线
的两个交点间的距离为8，
（1）求函数
的表达式；
（2）证明：当
时，关于
的方程
有三个实数解. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由已知，设
，由
，得
，∴
……2分
设
，它的图象与直线
的交点分别为
由
，得
∴
故
……4分
（2）证明：由
，得
即
……5分
在同一坐标系内作出
和
的大致图象如图，其中
的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，
的图象是以
为顶点，开口向下的抛物线.
∴
与
的图象在第三象限有一个交点，
即
有一个负数解.…… 8分
又∵
当
时，
∴当
时，在第一象限
的图象上存在一点
在
图象的上方.
∴
与
的图象在第一象限有两个交点，
即
有两个正数解.
∴方程
有三个实数解.…… 12分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“(本小题满分12分)已知二次函数的图象以.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
