题文
(本小题满分12分)已知定义域为
的函数
满足
.
（1）若
,求
；又若
,求
；
（2）设有且仅有一个实数
,使得
,求函数
的解析表达式. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（2）因为对任意
有 ,
所以 ,
，又
,从而
………………3分
,则
,即
………………………5分
（2）因为对任意
,有
又有且仅有一个实数
,使得
,故对任意
,有
…7分
在上式中令
,有
………………………………………8分
又因为
,所以
,故
或
………………………10分
若
,则
,但方程
有两个不相同实根,与题设条件矛盾,故
.
若
,则有
,易验证该函数满足题设条件. 综上,所求函数
的解析表达式为
……………………………………12分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“(本小题满分12分)已知定义域为的函数满.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
