题文
已知函数
(I)若直线l1交函数f(x)的图象于P,Q两点，与l1平行的直线
与函数
的图象切于点R,求证 P,R,Q三点的横坐标成等差数列;
(II)若不等式
恒成立,求实数a的取值范围；
(III)求证:
〔其中
, e为自然对数的底数） 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
，设切点R(x0，y0)
则
．
令l2：y=(-4x0+4)x+b．
联立
消去y得 2x2-4x0x+b=0．
令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=2x0，
即R、R、Q三点的横坐标成等差数列． ……………………………………4分
（Ⅱ）由已知有f (x)+g(x)-4x=-2x2+alnx≤0恒成立，
令F(x)=2x2-alnx(x>0)，
则
.
由
，得
.
当0
时
，F(x)在区
间(0，
)上递减；
当
时，
，F(x)在区间(
，+∞)上递增．
∴
≥0，得0（Ⅲ）由（2）知当a=2e时有2x2-2elnx≥0，得
≤
∴
≤
<
=
<
．
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“已知函数(I)若直线l1交函数f(x)的.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
