题文
设M是由满足下列条件的函数f(X)构成的集合：①方程
有实数根；
②函数
的导数
(满足
”
(I )若函数
为集合M中的任一元素，试证明万程
只有一个实根；
(II) 判断函^
是否是集合M中的元素，并说明理由；
(III) “对于（II)中函数
定义域内的任一区间
，都存在
，使得
”，请利用函数
的图象说明这一结论. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）令
，则
，即
在区间
上单调递减
所以，使
，即
成立的
至多有一解，┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
又由题设①知方程
有实数根，
所以，方程
只有一个实数根；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
（Ⅱ）由题意易知，
，满足条件②┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
令
，
则
，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
又
在区间
上连续，所以
在
上存在零点
，
即方程
有实数根
，故
满足条件①，
综上可知，
；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
，
而
，
所以原式等价于
，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分
该等式说明函数
上任意两点
和
的连线段
（如图所示），在曲线
上都一定存在一点
，使得该点 处的切线平行于
，根据
图象知该等式一定成立.
点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习
解析
略考点
据考高分专家说，试题“设M是由满足下列条件的函数f(X)构成的.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
