已知函数，，k为非零实数.设t=k2,若函数f(x),g(x)在区间(0,+∞)上单调性相同，求k的取值范围;是否存在正实数k，都能找到t∈[1,2

题文

已知函数

，

，k为非零实数.
（Ⅰ）设t=k²,若函数f(x),g(x)在区间(0,+∞)上单调性相同，求k的取值范围;
（Ⅱ）是否存在正实数k，都能找到t∈[1,2],使得关于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且仅有一个实数根，且在[－5,－1]上至多有一个实数根.若存在，请求出所有k的值的集合；若不存在，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）当k>0时，因为f(x)=kx,在(0,+∞)单调递增，所以

在(0,+∞)单调递增
但在(0,+∞)上，

，所以不符合已知
当k<0时，因为在(0,+∞)上，


，所以

在(0,+∞)单调递减，所以f(x)=kx,在(0,+∞)单调递减
则k<0符合题意。
（2）



因为


，所以存在符合题意的k。

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解析

本试题考查了运用导数来研究函数的单调性，并求解参数的取值范围。与此同时还能对于方程解的问题，转化为图像与图像的交点问题来长处理的数学思想的运用。

考点

据考高分专家说，试题“已知函数，，k为非零实数.（Ⅰ）设t=k.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点