若x1、x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝－，x1•x2＝．把它称为一元

题文

若x₁、x₂是关于一元二次方程ax²＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x₁、x₂和系数a、b、c有如下关系：x₁＋x₂＝－

，x₁•x₂＝

．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x₁，0)，B(x₂，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：
AB＝|x₁－x₂|＝

＝

＝

＝

．



参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x₁，0)、B(x₂，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b²－4ac的值；
(2)当△ABC为等边三角形时，求b²－4ac的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) 4；(2) 12

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解析

解：(1)当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．
∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b²－4ac＞0，则|b²－4ac|＝b²－4ac．
∵a＞0，∴AB＝

，
又∵CE＝|

|＝

，
∴

，
∴

，
∴

，
∵b²－4ac＞0，
∴b²－4ac＝4；
(2)当△ABC为等边三角形时，
由(1)可知CE＝

，
∴

，
∵b²－4ac＞0，
∴b²－4ac＝12．

考点

据考高分专家说，试题“若x1、x2是关于一元二次方程ax2＋b.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点