题文
已知函数
，其中
为实数；
（1）当
时，试讨论函数
的零点的个数；
（2）已知不等式
对任意
都成立，求实数
的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当
或
时，函数
有1个零点；
当
或
时，函数
有2个零点；
当
时，函数
有3个零点；
（2）
点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习
解析
(1) 当
时，
，
由
得
范围
1
2
+
0
-
0
+
递增
取极大值
递减
取极小值
递增
由上表知：
，
…4分
故 当
或
时，函数
有1个零点；
当
或
时，函数
有2个零点；
当
时，函数
有3个零点； …7分
（2）解法一：由题意知：
对任意
都成立
即
对任意
都成立，
设
（
），则对任意
，
为单增函数，
所以对任意
，
恒成立的充要条件是
即
于是
的取值范围是
…15分
解法二：由题意知：
对任意
都成立
即
对任意
都成立，
于是
对任意
都成立，即
，
于是
的取值范围是
…15分
点评：函数的零点个数即为函数图象与x轴的交点个数，这就要求考查函数的单调性、最值等，要结合函数的图象解决问题，而恒成立问题，一般转化为最值问题解决.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，其中为实数；（1）当时，试讨论.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
