方程的实根个数是A．3 B．2 C．1D．0

题文

方程

的实根个数是（     ）A．3 B．2 C．1D．0 题型：未知 难度：其他题型

答案

C  

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解析

令f（x）=x³－6x²+9x－10，则f′（x）=3x²－12x+9=3（x－1）（x－3）．
由f′（x）＞0得x＞3或x＜1，
由f′（x）＜0得1＜x＜3．
∴f（x）的单调增区间为（3，+∞），（－∞，1），单调减区间为（1，3），
∴f（x）在x=1处取极大值，在x=3处取极小值，
又∵f（1）=－6<0，f（3）=－10＜0，
∴函数f（x）的图象与x轴有一个交点，
即方程x³－6x²+9x－10=0有一个实根．
故选C．
点评：中档题，利用转化思想，将方程根的个数的讨论，转化成函数零点个数的讨论，通过研究函数的单调区间及极值情况，确定函数图象与x轴的交点个数。

考点

据考高分专家说，试题“方程的实根个数是（）A．3 B．2 C．.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点