题文
已知直线
：
．若存在实数
使得一条曲线与直线
有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于
，则称此曲线为直线
的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①
；②
；③
；④
；则其中直线
的“绝对曲线”有 （ ）A．①④B．②③C．②④D．②③④ 题型：未知 难度：其他题型
答案
D点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习
解析
由题意直线
表示斜率为
且过定点（1,1）的直线.(1)曲线①是由左右两支射线构成：
时，是斜率为2且过点（1,0）的射线；
时，是斜率为-2且过点（1,0）的射线.作图可知：当
，直线
仅与曲线①右支射线有一个交点；当
时，直线
与曲线①无交点；当
时，直线
仅与曲线①左支射线有一个交点.所以直线
与曲线①最多只有一个交点，不符题意，故曲线①不是直线
的“绝对曲线”.(2)因为定点（1，1）在曲线②上，所以直线
与曲线②恒有交点，设曲线②与直线
的两交点为
、
，易知
，联立直线
与曲线②方程，化简得：
.
，
.
,从而可知当且仅当
时直线
与曲线②仅一个交点.两边平方，化简得：
.设
，则
，
，且
是连续函数，所以
在（0,2）上有零点，即方程
在（0,2）上有根，且在（0,2）上曲线②与直线
有两个不同的交点.故存在实数
使得曲线②与直线
两个不同交点为端点的线段长度恰好等于
，故曲线②是直线
的“绝对曲线”.(3)曲线③表示圆心在（1,1）且半径为1的圆,它与直线
两个交点为端点的线段长度恒为2，
为2或-2时满足题意，故曲线③是直线
的“绝对曲线”.(4)因为定点（1，1）在曲线④上，所以直线
与曲线④恒有交点，设曲线④与直线
的两交点为
、
，易知
，联立直线
与曲线④方程，化简得：
,
,
,从而可知当且仅当
时直线
与曲线④仅一个交点.两边平方，化简得：
.
,
，
,且
是连续函数，所以
在
上有零点，即方程
在
上有根，且在
上曲线④与直线
有两个不同的交点.故存在实数
使得曲线④与直线
两个交点为端点的线段长度恰好等于
，故曲线④是直线
的“绝对曲线”.
考点
据考高分专家说，试题“已知直线：．若存在实数使得一条曲线与直线.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
