题文
设函数
(1)设
,
,证明:
在区间
内存在唯一的零点;
(2) 设
,若对任意
,有
,求
的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设
是
在
内的零点,判断数列
的增减性. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1) 见解析；（2）
；（3）见解析.
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解析
(1) 先根据零点存在性定理判断在
在
内存在零点，在利用导数说明函数在
上是单调递增的，从而说明
在区间
内存在唯一的零点；（2）此问可用两种解法:第一种，当
时,
，根据题意判断出
在
上最大值与最小值之差
，据此分类讨论如下:(ⅰ)当
；(ⅱ)当
；(ⅲ)当
,综上可知,
；第二种，用
表示
中的较大者，直接代入计算即可；（3）先设出零点
，然后根据
在
上是递增的得出结论.
试题解析：(1)
,
时,
∵
,∴
在
内存在零点. 又当
时,
,∴
在
上是单调递增的,所以
在
内存在唯一零点.
(2)当
时,
，对任意
都有
等价于
在
上最大值与最小值之差
,据此分类讨论如下:(ⅰ)当
,即
时,
,与题设矛盾
(ⅱ)当
,即
时,
恒成立
(ⅲ)当
,即
时,
恒成立.
综上可知,
注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下:
用
表示
中的较大者.当
,即
时,
恒成立 .
(3)证法一 设
是
在
内的唯一零点
,
,
于是有
又由(1)知
在
上是递增的,故
, 所以,数列
是递增数列.
证法二 设
是
在
内的唯一零点
则
的零点
在
内,故
,
所以,数列
是递增数列.
考点
据考高分专家说，试题“设函数(1)设,,证明:在区间内存在唯一.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
