题文
已知函数
(a，b均为正常数).
（1）求证：函数
在
内至少有一个零点；
（2）设函数在
处有极值，
①对于一切
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
②若函数f(x)在区间
上是单调增函数，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）详见解析；（Ⅱ）①
②
.
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解析
（Ⅰ）证明函数
在
内至少有一个零点，可由零点的存在性定理考察
和
的符号，若
且
，则结论成立，若
，可将区间
进行适当分割，再依上面方法进行，直到找到函数的零点的存在区间；（Ⅱ）易知
，从而求出
的值.
①不等式
恒成立可化分离参数转化为求函数在区间
上的最值问题，这是一个普通的三角函数问题，通过判断三角函数的单调性容易解决；②函数在一个已知区间上为增函数，求参数的取值范围问题，通常有两种方法，一是用在这个区间上导函数的符号确定，一般三角函数不用此方法，二是求出函数的单调递增区间，它必包含已知区间，然后考察参数的取值范围.
试题解析：（1）证明：
，
所以，函数
在
内至少有一个零点 4分
（2）
由已知得：
所以a=2，
所以
5分
①不等式
恒成立可化为：
记函数
，所以
在
恒成立 8分
函数
在
上是增函数，最小值为
所以
， 所以
的取值范围是
10分
②由
得：
，所以
11分
令
，可得
13分
∵函数
在区间（
）上是单调增函数，
∴
14分
∴
，
∵
，∴
，
∴
∴
16分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数(a，b均为正常数). （1）求.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
