某企业拟建造如图所示的容器，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其

题文

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

立方米，且

．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为

千元，设该容器的建造费用为

千元．



（Ⅰ）写出

关于

的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(Ⅰ)

；(Ⅱ)当

时，建造费用最小时

当

时，建造费用最小时

.

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解析

(Ⅰ)由圆柱和球的体积的表达式，得到l和r的关系．再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达式中的l用r表示．并注意到写定义域时，利用l≥2r，求出自变量r的范围；(Ⅱ)用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0，2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论.
试题解析：（I）设容器的容积为V，由题意知


故


由于

因此

                          _.3分
所以建造费用


因此

                       _..5分
（II）由（I）得


由于

   当


令



_;所以

          .7分
（1）当

时，



所以

是函数y的极小值点，也是最小值点。           .10分
（2）当

即

时， 当

函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当

时，建造费用最小时


当

时，建造费用最小时

                13分

考点

据考高分专家说，试题“某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点