对于函数的定义域为D,如果存在区间同时满足下列条件:①在[m,n]是单调的;②当定义域为[m,n]时, 的值域也是[m,n],则称区间[m,n]是该函数的“H区

题文

对于函数

的定义域为D,如果存在区间

同时满足下列条件:
①

在[m,n]是单调的;②当定义域为[m,n]时,

的值域也是[m,n],则称区间[m,n]是该函数的“H区间”.若函数

存在“H区间”,则正数

的取值范围是____________. 题型：未知 难度：其他题型

答案

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解析

当

时，

，

，

，得

，得

，此时函数

为单调递增，当

时，取得最大值，当

时，取得最小值，即

，即方程

有两解，即方程

有两解，作出

的图像，由图像及函数的导数可知，当

时，

在

时取得最小值

，在

时，

，故方程

有两解，

，即

，故

的取值范围为

；



当

时，函数

为单调递减，则当

时，取得最大值，当

时，取得最小值，即

，两式相减得，

，即

，不符合；
当

时，函数

为单调递减，则当

时，取得最大值，当

时，取得最小值，即

，两式相减可以得到

，回带到方程组的第一个式子得到

，整理得到

，由图像可知，方程有两个解，则





综上所述，正数

的取值范围是

．

考点

据考高分专家说，试题“对于函数的定义域为D,如果存在区间同时满.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点