关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．

题文

关于x的方程x³－3x²－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(－4,0)

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解析

由题意知使函数f(x)＝x³－3x²－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x²－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝2.当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)_极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)_极小值＝f(2)＝－4－a，所以

解得－4＜a＜0.，

考点

据考高分专家说，试题“关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点