设直线l与曲线f=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且︱AB︱=︱BC︱=,则直线l的方程为A.y=5x+1 B.y=4x+1 C.y=3x+

题文

设直线l与曲线f（x）=x³+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且︱AB︱=︱BC︱=

,则直线l的方程为（    ）
A.y=5x+1         B.y=4x+1         C.y=3x+1         D.y=

x+1 题型：未知 难度：其他题型

答案

C

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解析

由曲线

关于（0,1）中心对称,则B（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，
代入y=x³+2x+1，可得x³=（k-2）x，∴x=0或x=±

，∴不妨设A（

,k·

+1）(k
>2）,∵|AB|＝|BC|＝

∴(

-0)²+ （k·

+1-1）²=10错误！链接无效。∴k³-2k²+k-12=0,
∴（k-3）（k²+k+4）=0，解得k=3，∴直线l的方程为y=3x+1,故选C.

考点

据考高分专家说，试题“设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点