题文
已知函数
，
．
（1）若
，求证：函数
是
上的奇函数；
（2）若函数
在区间
上没有零点，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）详见解析；（2）
.
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解析
(1)定义域关于原点对称，将
代入算得
(2)考虑用补集思想解决此问题，因为
,所以函数
为单调递减函数，如果有零点，则
,得到
的取值范围，因为是求没有零点的
的取值范围，所以再求其补集.
试题解析：解：（1 ）定义域为
关于原点对称．
因为
，
所以函数
是定义在
上的奇函数
（2）
是实数集
上的单调递减函数（不说明单调性扣2分）又函数
的图象不间断，在区间
恰有一个零点，有
即
解之得
，故函数
在区间
没有零点时，实数
的取值范围是
14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，．（1）若，求证：函数是上的奇.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
