某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三

题文

某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．
（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；
（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？


题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）y＝

(6＜x＜500)．S=3030－

，6＜x＜500.
（2）x＝50 m，y＝60 m时，最大面积是2430 m².

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解析

（1）解实际问题应用题，关键正确理解题意，列出函数关系式，注意交代定义域. 由已知xy＝3000,2a＋6＝y∴x＞6，y＞6，故y＝

，由y＞6，解得x＜500，∴y＝

(6＜x＜500)．S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a，根据2a＋6＝y，得a＝

－3＝

－3，∴S＝(2x－10)

＝3030－

，6＜x＜500.（2）由基本不等式求最值，注意等于号取值情况.S＝3030－

≤3030－2

＝3030－2×300＝2430，当且仅当6x＝

，即x＝50时等号成立，此时y＝60.
解：（1）由已知xy＝3000,2a＋6＝y∴x＞6，y＞6，故y＝

，
由y＞6，解得x＜500，∴y＝

(6＜x＜500)．
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a，
根据2a＋6＝y，得a＝

－3＝

－3，
∴S＝(2x－10)

＝3030－

，6＜x＜500.
（2）S＝3030－

≤3030－2

＝3030－2×300＝2430，
当且仅当6x＝

，即x＝50时等号成立，此时y＝60.
所以，矩形场地x＝50 m，y＝60 m时，运动场的面积最大，最大面积是2430 m².

考点

据考高分专家说，试题“某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点