题文
已知函数
，其中
.
（1）若
，求函数
的定义域和极值；
（2）当
时，试确定函数
的零点个数，并证明. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）定义域为
，且
，当
时，函数
有极小值
；（2）函数
存在两个零点．
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解析
若
，求函数
的定义域和极值，把
代入得函数
，故可求得函数
的定义域，求它的极值，对函数求导，求出导数等于零点，及两边导数的符号，从而确定极值点；（2）当
时，试确定函数
的零点个数，即求函数
的零点个数，首先确定定义域，在定义域内，考虑函数的单调性，由单调性与根的存在性定理，来判断零点的个数．
（1）函数
的定义域为
，且
. 1分
. 3分
令
，得
，
当
变化时，
和
的变化情况如下：
↘
↘
↗
4分
故
的单调减区间为
，
；单调增区间为
．
所以当
时，函数
有极小值
. 5分
（2）结论：函数
存在两个零点.
证明过程如下：
由题意，函数
，
因为
，
所以函数
的定义域为
. 6分
求导，得
， 7分
令
，得
，
，
当
变化时，
和
的变化情况如下：
↗
↘
↗
故函数
的单调减区间为
；单调增区间为
，
．
当
时，函数
有极大值
；当
时，函数
有极小值
. 9分
因为函数
在
单调递增，且
，
所以对于任意
，
. 10分
因为函数
在
单调递减，且
，
所以对于任意
，
. 11分
因为函数
在
单调递增，且
，
，
所以函数
在
上仅存在一个
，使得函数
， 12分
故函数
存在两个零点（即
和
）. 13分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，其中.（1）若，求函数的定义域.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
