已知是二次函数，不等式的解集是(0，5)，且在区间[-1，4]上的最大值是12．求f(x)的解析式；是否存在正整数m,使得方程在区间内有且只有两个不

题文

已知

是二次函数，不等式

的解集是(0，5)，且

在区间[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在正整数m,使得方程

在区间

内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）方程

，
设

，则

.
当

时，

，

是减函数；当

时，

，

是增函数.
因为

.所以方程

在区间

，

内分别有唯一实数根，而区间

，

内没有实数根.所以存在唯一的正数

，使得方程

在区间

内有且只有两个不等的实数根.

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解析

（1）由已知得0，5是二次函数

的两个零点值，所以可设

，开口方向向上，对称轴为

，因此

在区间

上的最大值是

，则

，即

，因此可求出函数

的解析式；（2）由（1）得

，构造函数

，则方程

的实数根转化为函数

的零点，利用导数法得到函数

减区间为

、增区间为

，又有

，

，

，发现函数

在区间

，

内分别有唯一零点，而在区间

，

内没有零点，所以存在唯一的正数

，使得方程

在区间

内有且只有两个不等的实数根.
（1）因为

是二次函数，且

的解集是

，
所以可设

    2分
所以

在区间

上的最大值是

.    4分
由已知，得

，

.

.    6分
（2）方程

，
设

，则

.    10分
当

时，

，

是减函数；
当

时，

，

是增函数.        10分
因为

.
所以方程

在区间

，

内分别有唯一实数根，而区间

，

内没有实数根.    12分
所以存在唯一的正数

，使得方程

在区间

内有且只有两个不等的实数根.     14分

考点

据考高分专家说，试题“已知是二次函数，不等式的解集是(0，5).....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点