已知函数f(x)＝x＋sin x.(1)设P，Q是函数f(x)图像上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；(2)求实数a的取值范围，使不等式f(x)≥axco

题文

已知函数f(x)＝x＋sin x.
(1)设P，Q是函数f(x)图像上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；
(2)求实数a的取值范围，使不等式f(x)≥axcos x在

上恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析   （2）(－∞，2]

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解析

解：(1)由题意，得f′(x)＝1＋cos x≥0.
所以函数f(x)＝x＋sin x在R上单调递增．
设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，x₁≠x₂，
则

>0，即k_PQ>0.
所以直线PQ的斜率大于0.
(2)当a≤0时，x∈

，则f(x)＝x＋sin x≥0≥axcos x恒成立，所以a≤0；
当a>0时，令g(x)＝f(x)－axcos x＝x＋sin x－axcos x，
则g′(x)＝1＋cos x－a(cos x－xsin x)
＝1＋(1－a)cos x＋axsin x.
①当1－a≥0，即00，所以g(x)在

上为单调增函数．
所以g(x)≥g(0)＝0＋sin 0－a·0·cos 0＝0，符合题意．
所以0②当1－a<0，即a>1时，
令h(x)＝g′(x)＝1＋(1－a)cos x＋axsin x，
于是h′(x)＝(2a－1)sin x＋axcos x.
因为a>1，所以2a－1>0，从而h′(x)≥0.
所以h(x)在

上为单调增函数．
所以h(0)≤h(x)≤h

，
即2－a≤h(x)≤

a＋1，
即2－a≤g′(x)≤

a＋1.
(ⅰ)当2－a≥0，即1上为单调增函数．
于是g(x)≥g(0)＝0，符合题意．
所以1(ⅱ)当2－a<0，即a>2时，存在x₀∈

，使得当x∈(0，x₀)时，有g′(x)<0，此时g(x)在(0，x₀)上为单调减函数，从而g(x)0恒成立．
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2]．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝x＋sin x.(1).....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点