若函数f(x)＝x3－ax2(a>0)在区间上是单调增函数，则使方程f(x)＝1 000有整数解的实数a的个数是________．

题文

若函数f(x)＝x³－ax²(a>0)在区间

上是单调增函数，则使方程f(x)＝1 000有整数解的实数a的个数是________． 题型：未知 难度：其他题型

答案

4

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解析

令f′(x)＝3x²－2ax>0，则x>

或x<0.
由f(x)在区间

上是单调增函数知

⊆

，从而a∈(0,10]．由f(x)＝1 000得a＝x－

，令g(x)＝x－

，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且与x轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g(x)与y＝a(03－10x²－1 000＝0.令h(x)＝x³－10x²－1 000，因为h(14)＝－216<0，h(15)＝125>0，所以方程x³－10x²－1 000＝0在区间(14,15)上存在根x₀，因此从图像可以看出在(10，x₀]之间f(x)＝1 000共有4个整数解．

考点

据考高分专家说，试题“若函数f(x)＝x3－ax2(a>.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点