已知函数f(x)＝x2－2acos kπ·ln x(k∈N*，a∈R，且a>0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若k＝2 04，关于x的方程f(x

题文

已知函数f(x)＝x²－2acos kπ·ln x(k∈N^*，a∈R，且a>0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若k＝2 04，关于x的方程f(x)＝2ax有唯一解，求a的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当k是奇数时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当k是偶数时，f(x)在(0，

)上是单调减函数，在(

，＋∞)上是单调增函数．
（2）

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解析

解：(1)由已知得x>0
且f′(x)＝2x－(－1)^k·

.
当k是奇数时，f′(x)>0，
则f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当k是偶数时，
则f′(x)＝2x－

＝

.
所以当x∈(0，

)时，f′(x)<0；
当x∈(

，＋∞)时，f′(x)>0.
故当k是偶数时，f(x)在(0，

)上是单调减函数，在(

，＋∞)上是单调增函数．
(2)若k＝2 014，
则f(x)＝x²－2aln x(k∈N^*)．
记g(x)＝f(x)－2ax＝x²－2aln x－2ax，
则g′(x)＝2x－

－2a＝

(x²－ax－a)．
则方程f(x)＝2ax有唯一解，即g(x)＝0有唯一解．
令g′(x)＝0，得x²－ax－a＝0.
因为a>0，x>0，
所以x₁＝

<0(舍去)，
x₂＝

.
当x∈(0，x₂)时，g′(x)<0，g(x)在(0，x₂)上是单调减函数；当x∈(x₂，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x₂，＋∞)上是单调增函数．
当x＝x₂时，g′(x₂)＝0，g(x)_min＝g(x₂)．
因为g(x)＝0有唯一解，所以g(x₂)＝0.则


，即


两式相减得2aln x₂＋ax₂－a＝0，
因为a>0，所以2ln x₂＋x₂－1＝0.(*)
设函数h(x)＝2lnx＋x－1.
因为当x>0时，h(x)是增函数，所以h(x)＝0至多有一个解．
因为h(1)＝0，所以方程(*)的解为x₂＝1.
从而解得a＝

.

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝x2－2acos kπ.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点