是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由

题文

是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x²＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

a的取值范围为a>1或a<－

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解析

解：令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)²－4(a－1)＝9a²－16a＋8＝9(a－

)²＋

>0，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，
∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，
∴a≤－

或a≥1．
检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x²＋x．
令f(x)＝0，即x²＋x＝0，得x＝0或x＝－1．
方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1．
当f(3)＝0时，a＝－

，
此时f(x)＝x²－

x－

．
令f(x)＝0，即x²－

x－

＝0，
解得x＝－

或x＝3．
方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－

．
所以a的取值范围为a>1或a<－

．

考点

据考高分专家说，试题“是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点