题文
已知函数
，其中
，
为自然对数的底数.
（Ⅰ）设
是函数
的导函数，求函数
在区间
上的最小值；
（Ⅱ）若
，函数
在区间
内有零点，求
的取值范围 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）当
时，
；当
时，
；
当
时，
.（Ⅱ）
的范围为
.
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解析
（Ⅰ）易得
，再对分
情况确定
的单调区间，根据
在
上的单调性即可得
在
上的最小值.（Ⅱ）设
为
在区间
内的一个零点，注意到
.联系到函数的图象可知，导函数
在区间
内存在零点
，
在区间
内存在零点
，即
在区间
内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当
及
时，
在
内都不可能有两个零点.所以
.此时，
在
上单调递减，在
上单调递增，因此
，且必有
.由
得：
，代入这两个不等式即可得
的取值范围.
试题解答：（Ⅰ）
①当
时，
，所以
.
②当
时，由
得
.
若
，则
；若
，则
.
所以当
时，
在
上单调递增，所以
.
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
.
当
时，
在
上单调递减，所以
.
（Ⅱ）设
为
在区间
内的一个零点，则由
可知，
在区间
上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则
不可能恒为正，也不可能恒为负.
故
在区间
内存在零点
.
同理
在区间
内存在零点
.
所以
在区间
内至少有两个零点.
由（Ⅰ）知，当
时，
在
上单调递增，故
在
内至多有一个零点.
当
时，
在
上单调递减，故
在
内至多有一个零点.
所以
.
此时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此
，必有
.
由
得：
，有
.
解得
.
当
时，
在区间
内有最小值
.
若
，则
，
从而
在区间
上单调递增，这与
矛盾，所以
.
又
，
故此时
在
和
内各只有一个零点
和
.
由此可知
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
，
，
故
在
内有零点.
综上可知，
的取值范围是
.
【考点定位】导数的应用及函数的零点.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
