已知函数f(x)=a(x-1)2+1bx+c-b，且f=2，f＜3，且f的图象按向量e=(-1，0)平移后得到的图象关于原点

题文

已知函数f(x)=a(x-1)2+1bx+c-b（a，b，c∈N），且f（2）=2，f（3）＜3，
且f（x）的图象按向量e=(-1，0)平移后得到的图象关于原点对称．
（1）求a、b、c的值；
（2）设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求证不等式|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|；
（3）已知x＞0，n∈N^*，求证不等式[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）将f（x）的图象按向量e=(-1，0)平移后得到的解析式为f(x+1)=ax2+1bx+c
若g(x)=ax2+1bx+c关于原点对称，则当x=0时有意义，必有g（0）=0…（2分）
而g（0）≠0，所以c=0，且b≠0
∵f(2)=a+1b+c=2，∴f(2)=a+1b=2⇒a=2b-1，
∵f(3)=4a+12b+c＜3，∴f(3)=4a+12b＜3⇒4a＜6b-1
∴8b-4＜6b-1⇒b＜32，
又b∈N，b≠0，所以b=1，a=1∴f(x)=(x-1)2+1x-1…（4分）
（2）|f(tx+1)|=|(tx)2+1tx|=|tx+1tx|
∵tx与1tx同号，所以|tx+1tx|=|tx|+1|tx|≥2…（6分）
而|t+x|-|t-x|≤|t+x-（t-x）|=2|x|＜2
∴|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|…（8分）
（3）[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+1x)n-(xn+1xn)…（9分）
令g(x)=(x+1x)n-(xn+1xn)，（x＞0）
则g(x)=C1nxn-1(1x)1+C2nxn-2(1x)2+…+Cn-1nx1(1x)n-1，…..①g(x)=Cn-1nx1(1x)n-1+Cn-2nx2(1x)n-2+…+C1nxn-1(1x)1…..②
①②相加得2g(x)=[C1nxn-1(1x)1+Cn-1nx1(1x)n-1]+…+[Cn-1nx1(1x)n-1+C1nxn-1(1x)1]
=C1n[xn-1(1x)1+x1(1x)n-1]+…+Cn-1n[x1(1x)n-1+xn-1(1x)1]…（12分）
≥2（C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1）=2（2ⁿ-2）
∴g（x）≥2ⁿ-2，即[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2，当x=1时取等号…（14分）

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解析

e

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=a(x-1)2+1bx.....”主要考查你对 [函数图象 ]考点的理解。 函数图象

定义：

点集{（x，y）|y=f（x）}叫做函数y=f（x）的图像。

函数图像的画法：

（1）描点法：
一般我们选择一些特殊点（包括区间端点、最值点、极值点、函数图像与坐标轴的交点等）。
（2）用函数的性质画图
一般我们选择先确定函数的定义域，再看函数是否具有周期性和对称性、奇偶性，这样我们就可以只画出部分图像，之后根据性质直接得到其余部分的图像，然后判断单调性，确定特殊点或渐近线，进而得到函数的大致图像。
（3）通过图像变换画图
（一）平移变化：
Ⅰ水平平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位即可得到；
Ⅱ竖直平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位即可得到．
（二）对称变换：
Ⅰ函数y=f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于y轴对称即可得到；
Ⅱ函数y=-f（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于x轴对称即可得到；
Ⅲ函数y=-f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于原点对称即可得到；
Ⅳ函数y=f^-1（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称得到．

函数图像的判断：

这里主要是抽象函数的图像，借助函数的对称性、周期性及单调性确定函数的图像；另外借助导数，就是函数在某点处的切线斜率的变化，体现在函数的图像上就是增长的快还是慢来确定函数的图像。

常用结论：
（1）若函数y=f(x)定义域内任一x的值都满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图像关于直线

成轴对称图形；特别地，y=f(x)满足

恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形；
（2）函数y=f(x)的图像关于直线x=a及x=b对称，则y=f(x)是周期函数，且2|b-a|是它的一个周期。