设函数y=f的图象是曲线C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称．将曲线C2向右平移1个单位得到曲线C3，已知曲线C3是函数y=log2x的图象．求函

题文

设函数y=f（x）的图象是曲线C₁，曲线C₂与C₁关于直线y=x对称．将曲线C₂向右平移1个单位得到曲线C₃，已知曲线C₃是函数y=log₂x的图象．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设a_n=nf（x）（n∈N^*），求数列{a_n}的前n项和S_n，并求最小的正实数t，使S_n＜ta_n对任意n∈N^*都成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意知，曲线C₃向左平移1个单位得到曲线C₂，∴曲线C₂是函数y=log₂（x+1）的图象．…（2分）
曲线C₂与曲线C₁关于直线y=x对称，∴曲线C₂是函数y=log₂（x+1）的反函数的图象y=log₂（x+1）的反函数为y=2^x-1
∴f（x）=2^x-1…（4分）
（II）由题设：a_n=n×2ⁿ-n，n∈N^*S_n=（1×2¹-1）+（2×2²-2）+（3×2³-3）+…+（n•2ⁿ-n）=（1×2¹+2×2²+3×2
²+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）…（6分）=(1×21+2×22+3×22+…+n×2n)-n(n+1)2=(1×21+2×22+3×23+…+n×2n)-n(n+1)2①
2S_n=（1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹）-n（n+1）②
由②-①得，Sn=-(21+22+23+…+2n)+n×2n+1-n(n+1)2
，=-2-2n+11-2+n×2n+1-n(n+1)2=(n-1)×2n+1-n2+n-42…（8分）
当t=2，Sn-2an=[(n-1)2n+1-n2+n-42]-2(n×2n-n)=-[2n+1+(n+1)(n-4)2]S₁-2a₁=-1＜0，S₂-2a₂=-5＜0，S₃-2a₃=-14＜0
当n≥4时，Sn-2an=-[2n+1+(n+1)(n-4)2]＜0∴当t=2时，对一切n∈N^*，S_n＜2a_n恒成立．
当0＜t＜2时，Sn-2an=[(n-1)2n+1-n2+n-42]-t(n×2n-n)=[(2-t)n-2]×2n-n2+n2+tn+2＞[(2-t)n-2]×2n-n2+n2
记M=32-t，则当n大于比M大的正整数时，Sn-tan＞2n-n(n+1)2=[1+n+n(n-1)2+…]-n2+n2＞0
也就证明当t∈（0，2）时，存在正整数n，使得S_n＞ta_n．
也就是说当t∈（0，2）时，S_n≤ta_n不可能对一切n∈N^*都成立．∴t的最小值为2．…（14分）

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解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“设函数y=f（x）的图象是曲线C1，曲线.....”主要考查你对 [函数图象 ]考点的理解。 函数图象

定义：

点集{（x，y）|y=f（x）}叫做函数y=f（x）的图像。

函数图像的画法：

（1）描点法：
一般我们选择一些特殊点（包括区间端点、最值点、极值点、函数图像与坐标轴的交点等）。
（2）用函数的性质画图
一般我们选择先确定函数的定义域，再看函数是否具有周期性和对称性、奇偶性，这样我们就可以只画出部分图像，之后根据性质直接得到其余部分的图像，然后判断单调性，确定特殊点或渐近线，进而得到函数的大致图像。
（3）通过图像变换画图
（一）平移变化：
Ⅰ水平平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位即可得到；
Ⅱ竖直平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位即可得到．
（二）对称变换：
Ⅰ函数y=f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于y轴对称即可得到；
Ⅱ函数y=-f（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于x轴对称即可得到；
Ⅲ函数y=-f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于原点对称即可得到；
Ⅳ函数y=f^-1（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称得到．

函数图像的判断：

这里主要是抽象函数的图像，借助函数的对称性、周期性及单调性确定函数的图像；另外借助导数，就是函数在某点处的切线斜率的变化，体现在函数的图像上就是增长的快还是慢来确定函数的图像。

常用结论：
（1）若函数y=f(x)定义域内任一x的值都满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图像关于直线

成轴对称图形；特别地，y=f(x)满足

恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形；
（2）函数y=f(x)的图像关于直线x=a及x=b对称，则y=f(x)是周期函数，且2|b-a|是它的一个周期。