已知函数f=m的图象与h=+2的图象关于点A对称．求m的值；若g=f+a4x在（0，2]上

题文

已知函数f（x）=m（x+1x）的图象与h（x）=（x+1x）+2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求m的值；
（2）若g（x）=f（x）+a4x在（0，2]上是减函数，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设P（x，y）是h（x）图象上一点，点P关于A（0，1）的对称点为Q（x₀，y₀），则x₀=-x，y₀=2-y．
∴2-y=m，∴y=m+2，从而m=14．
（2）g（x）=14（x+1x）+a4x=14（x+a+1x）．
设0＜x₁＜x₂≤2，
则g（x₁）-g（x₂）=14（x1+a+1x1）-14（x2+a+1x2）
=14（x₁-x₂）+14（a+1）•x2-x1x1x2
=14（x₁-x₂）•x1x2-(a+1)x1x2＞0，
并且在x₁，x₂∈（0，2]上恒成立，
∴x₁x₂-（a+1）＜0，
∴1+a＞x₁x₂，1+a≥4，∴a≥3．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=m（x+1x）的图象与.....”主要考查你对 [函数图象 ]考点的理解。 函数图象

定义：

点集{（x，y）|y=f（x）}叫做函数y=f（x）的图像。

函数图像的画法：

（1）描点法：
一般我们选择一些特殊点（包括区间端点、最值点、极值点、函数图像与坐标轴的交点等）。
（2）用函数的性质画图
一般我们选择先确定函数的定义域，再看函数是否具有周期性和对称性、奇偶性，这样我们就可以只画出部分图像，之后根据性质直接得到其余部分的图像，然后判断单调性，确定特殊点或渐近线，进而得到函数的大致图像。
（3）通过图像变换画图
（一）平移变化：
Ⅰ水平平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位即可得到；
Ⅱ竖直平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位即可得到．
（二）对称变换：
Ⅰ函数y=f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于y轴对称即可得到；
Ⅱ函数y=-f（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于x轴对称即可得到；
Ⅲ函数y=-f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于原点对称即可得到；
Ⅳ函数y=f^-1（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称得到．

函数图像的判断：

这里主要是抽象函数的图像，借助函数的对称性、周期性及单调性确定函数的图像；另外借助导数，就是函数在某点处的切线斜率的变化，体现在函数的图像上就是增长的快还是慢来确定函数的图像。

常用结论：
（1）若函数y=f(x)定义域内任一x的值都满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图像关于直线

成轴对称图形；特别地，y=f(x)满足

恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形；
（2）函数y=f(x)的图像关于直线x=a及x=b对称，则y=f(x)是周期函数，且2|b-a|是它的一个周期。