如图，函数y=|x|在x∈［－1,1］的图像上有两点A、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m>)是△ABC的BC边的中点. (1)写出用B点横坐

题文

如图，函数y=

|x|在x∈［－1,1］的图像上有两点A、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m>

)是△ABC的BC边的中点.
(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);
(2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标.

题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) f(t)=－3t²+2mt,t∈(0,1) (2) S_max=f(1)=2m－3,相应的C点坐标是(1，2m－3)

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解析

(1)依题意，设B(t,

 t),A(－t,

t)(t>0),C(x₀,y₀).
∵M是BC的中点

 ∴

=1,

 =m.
∴x₀=2－t,y₀=2m－

t. 
在△ABC中，|AB|=2t,AB边上的高h_AB=y₀－

t=2m－3t.
∴S=

|AB|·h_AB=

·2t·(2m－3t),即f(t)=－3t²+2mt,t∈(0,1).
(2)∵S=－3t²+2mt=－3(t－

)²+

,t∈(0,1

,若

，
即

＜m≤3,
当t=

时，S_max=

,相应的C点坐标是(2－

,

m),
若

>1,即m>3

 S=f(t)在区间(0，1］上是增函数，
∴S_max=f(1)=2m－3,相应的C点坐标是(1，2m－3).

考点

据考高分专家说，试题“ 如图，函数y=|x|在x∈［－1,1］.....”主要考查你对 [函数图象 ]考点的理解。 函数图象

定义：

点集{（x，y）|y=f（x）}叫做函数y=f（x）的图像。

函数图像的画法：

（1）描点法：
一般我们选择一些特殊点（包括区间端点、最值点、极值点、函数图像与坐标轴的交点等）。
（2）用函数的性质画图
一般我们选择先确定函数的定义域，再看函数是否具有周期性和对称性、奇偶性，这样我们就可以只画出部分图像，之后根据性质直接得到其余部分的图像，然后判断单调性，确定特殊点或渐近线，进而得到函数的大致图像。
（3）通过图像变换画图
（一）平移变化：
Ⅰ水平平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位即可得到；
Ⅱ竖直平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位即可得到．
（二）对称变换：
Ⅰ函数y=f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于y轴对称即可得到；
Ⅱ函数y=-f（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于x轴对称即可得到；
Ⅲ函数y=-f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于原点对称即可得到；
Ⅳ函数y=f^-1（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称得到．

函数图像的判断：

这里主要是抽象函数的图像，借助函数的对称性、周期性及单调性确定函数的图像；另外借助导数，就是函数在某点处的切线斜率的变化，体现在函数的图像上就是增长的快还是慢来确定函数的图像。

常用结论：
（1）若函数y=f(x)定义域内任一x的值都满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图像关于直线

成轴对称图形；特别地，y=f(x)满足

恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形；
（2）函数y=f(x)的图像关于直线x=a及x=b对称，则y=f(x)是周期函数，且2|b-a|是它的一个周期。