题文
设二次函数
，对任意实数
，有
恒成立；数列
满足
.
（1）求函数
的解析式和值域；
（2）试写出一个区间
，使得当
时，数列
在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）已知
，是否存在非零整数
，使得对任意
，都有
恒成立，若存在，
求之；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）由恒成立等价于
恒成立，…1分
从而得：
，化简得
，从而得
，
所以
，………3分
其值域为
.…………………4分
（2）解：当
时，数列
在这个区间上是递增数列，证明如下：
设
，则
，
所以对一切
，均有
；………………7分
从而得
，即
，所以数列
在区间
上是递增数列…10分
注：本题的区间也可以是
、
、
等无穷多个.
另解：若数列
在某个区间上是递增数列，则
即
…7分
又当
时，
，
∴对一切
，均有
且
，
∴数列
在区间
上是递增数列.…………………………10分
（3）（文科）由（2）知
，从而
；
，
即
； ………12分
令
，则有
且
；
从而有
，可得
，
∴数列
是以
为首项，公比为
的等比数列，………14分
从而得
，即
，
∴
，
∴
，∴
， …16分
∴，
. ………………………18分
（3）（理科）由（2）知
，从而
；
，
即
；………12分
令
，则有
且
；
从而有
，可得
，所以数列
是
为首项，公比为
的等比数列，…………………14分
从而得
，即
，
所以
，
所以
，所以
，
所以，
.………………………16分
即
，所以，
恒成立
（1）当n为奇数时，即
恒成立，当且仅当
时，
有最小值
为。
（2）当n为偶数时，即
恒成立，当且仅当
时，有最大值
为。
所以，对任意
，有
。又
非零整数，
…………18分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满.....”主要考查你对 [函数图象 ]考点的理解。 函数图象定义：
点集{（x，y）|y=f（x）}叫做函数y=f（x）的图像。
函数图像的画法：
（1）描点法：
一般我们选择一些特殊点（包括区间端点、最值点、极值点、函数图像与坐标轴的交点等）。
（2）用函数的性质画图
一般我们选择先确定函数的定义域，再看函数是否具有周期性和对称性、奇偶性，这样我们就可以只画出部分图像，之后根据性质直接得到其余部分的图像，然后判断单调性，确定特殊点或渐近线，进而得到函数的大致图像。
（3）通过图像变换画图
（一）平移变化：
Ⅰ水平平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位即可得到；
Ⅱ竖直平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位即可得到．
（二）对称变换：
Ⅰ函数y=f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于y轴对称即可得到；
Ⅱ函数y=-f（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于x轴对称即可得到；
Ⅲ函数y=-f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于原点对称即可得到；
Ⅳ函数y=f-1（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称得到．
函数图像的判断：
这里主要是抽象函数的图像，借助函数的对称性、周期性及单调性确定函数的图像；另外借助导数，就是函数在某点处的切线斜率的变化，体现在函数的图像上就是增长的快还是慢来确定函数的图像。
常用结论：
（1）若函数y=f(x)定义域内任一x的值都满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图像关于直线
成轴对称图形；特别地，y=f(x)满足
恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形；
（2）函数y=f(x)的图像关于直线x=a及x=b对称，则y=f(x)是周期函数，且2|b-a|是它的一个周期。
