题文
若函数
在
处取得极大值或极小值，则称
为函数
的极值点。已知
是实数，1和
是函数
的两个极值点．
（1）求
和
的值；
（2）设函数
的导函数
，求
的极值点；
（3）设
，其中
，求函数
的零点个数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）
的极值点是－2
（3）当
时，函数
有5 个零点；当
时，函数
有9 个零点。
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解析
（1）求出的导数，根据1和
是函数
的两个极值点代入列方程组求解即可。
（2）由（1）得，
，求出
，令
，求解讨论即可。
（3）比较复杂，先分
和
讨论关于
的方程
根的情况；再考虑函数
的零点
解：（1）由
，得
。
∵1和
是函数
的两个极值点，
∴
，
，解得
。
（2）∵ 由（1）得，
，
∴
，解得
。
∵当
时，
；当
时，
，
∴
是
的极值点。
∵当
或
时，
，∴
不是
的极值点。
∴
的极值点是－2。
（3）令
，则
。
先讨论关于
的方程
根的情况：
当
时，由（2 ）可知，
的两个不同的根为I 和一2 ，注意到
是奇函数，∴
的两个不同的根为一和2。
当
时，∵
，
，
∴一2 , －1，1 ，2 都不是
的根。
由（1）知
。
① 当
时，
，于是
是单调增函数，从而
。
此时
在
无实根。
② 当
时．
，于是
是单调增函数。
又∵
，
，
的图象不间断，
∴
在（1 , 2 ）内有唯一实根。
同理，
在（一2 ，一I ）内有唯一实根。
③ 当
时，
，于是
是单调减两数。
又∵
，
，
的图象不间断，
∴
在（一1，1 ）内有唯一实根。
因此，当
时，
有两个不同的根
满足
；当
时
有三个不同的根
，满足
。
现考虑函数
的零点：
( i ）当
时，
有两个根
，满足
。
而
有三个不同的根，
有两个不同的根，故
有5 个零点。
( 11 ）当
时，
有三个不同的根
，满足
。
而
有三个不同的根，故
有9 个零点。
综上所述，当
时，函数
有5 个零点；当
时，函数
有9 个零点
【考点定位】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的应用，考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解。本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大。
考点
据考高分专家说，试题“若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数.....”主要考查你对 [函数图象 ]考点的理解。 函数图象定义：
点集{（x，y）|y=f（x）}叫做函数y=f（x）的图像。
函数图像的画法：
（1）描点法：
一般我们选择一些特殊点（包括区间端点、最值点、极值点、函数图像与坐标轴的交点等）。
（2）用函数的性质画图
一般我们选择先确定函数的定义域，再看函数是否具有周期性和对称性、奇偶性，这样我们就可以只画出部分图像，之后根据性质直接得到其余部分的图像，然后判断单调性，确定特殊点或渐近线，进而得到函数的大致图像。
（3）通过图像变换画图
（一）平移变化：
Ⅰ水平平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位即可得到；
Ⅱ竖直平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位即可得到．
（二）对称变换：
Ⅰ函数y=f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于y轴对称即可得到；
Ⅱ函数y=-f（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于x轴对称即可得到；
Ⅲ函数y=-f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于原点对称即可得到；
Ⅳ函数y=f-1（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称得到．
函数图像的判断：
这里主要是抽象函数的图像，借助函数的对称性、周期性及单调性确定函数的图像；另外借助导数，就是函数在某点处的切线斜率的变化，体现在函数的图像上就是增长的快还是慢来确定函数的图像。
常用结论：
（1）若函数y=f(x)定义域内任一x的值都满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图像关于直线
成轴对称图形；特别地，y=f(x)满足
恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形；
（2）函数y=f(x)的图像关于直线x=a及x=b对称，则y=f(x)是周期函数，且2|b-a|是它的一个周期。
