如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，

题文

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，
OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交
于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.



(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件
的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成
为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) y=-（x+1）（x-4）=-x²+3x+4  (2)存在符合条件的P点 (3)存在

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解析

（1）在R t △BDC中，OD⊥BC， 由射影定理，得：OD²=OB•OC； 则OB=OD²
÷OC=1；∴B（-1，0）； ∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）； 设抛物线的解析式为：
y=a（x+1）（x-4）（a≠0），则有：  a（0+1）（0-4）=4，a=-1；∴y=-（x+1）（x-4）=-x²+3x+4；
（2）因为A（-2，0），D（0，2）； 所以直线AD：y=x+2； 联立抛物线的解析式可求得F
（1-

 ，3-

 ），G（1+

 ，3+

 ）； 设P点坐标为（x，x+2）（1-

 ＜x＜
1+

 ），则Q（x，-x²+3x+4）； ∴PQ=-x²+3x+4-x-2=-x²+2x+2； 易知M（

 ，

 ）。 若
以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形； ①以M为直
角顶点，PQ为斜边，则P（2-

 ，4-

 ）； ②以Q为直角顶点，PM为斜边；
P（

 ，

 ）故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2-

 ，4-

 ）
或（

 ，

 ）；（3）易知N（

 ，

 ），M（

 ，

 ）； 设P点
坐标为（m，m+2）， 则Q（m，-m²+3m+4）；（1-

 ＜m＜1+

 ） ∴PQ=-m²+2m+2，
NM=

 ； ①若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有： MN=PQ，
即：-m2+2m+2=

 ， 解得m=

，m=

（舍去）；当m=

 时，P（

 ，

 ），Q
（

 ，

 ） 此时PM≠MN，故四边形PMNQ不可能是菱形； ②由于当NQ∥PM时，
四边形PMNQ是平行四边形，所以若四边形PMNQ是梯形，只有一种情况：PQ∥MN，此
时P点坐标为（

 ，

 ）．
∴四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点坐标为（

 ，

 ）．
点评：此题是二次函数的综合题，考查的知识点有：直角三角形的性质，二次函数的确定，
等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性质等，同时还考查了分类讨论的数学思想；要特别
注意的是在判定梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的条件．

考点

据考高分专家说，试题“如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x.....”主要考查你对 [函数图象 ]考点的理解。 函数图象

定义：

点集{（x，y）|y=f（x）}叫做函数y=f（x）的图像。

函数图像的画法：

（1）描点法：
一般我们选择一些特殊点（包括区间端点、最值点、极值点、函数图像与坐标轴的交点等）。
（2）用函数的性质画图
一般我们选择先确定函数的定义域，再看函数是否具有周期性和对称性、奇偶性，这样我们就可以只画出部分图像，之后根据性质直接得到其余部分的图像，然后判断单调性，确定特殊点或渐近线，进而得到函数的大致图像。
（3）通过图像变换画图
（一）平移变化：
Ⅰ水平平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位即可得到；
Ⅱ竖直平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位即可得到．
（二）对称变换：
Ⅰ函数y=f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于y轴对称即可得到；
Ⅱ函数y=-f（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于x轴对称即可得到；
Ⅲ函数y=-f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于原点对称即可得到；
Ⅳ函数y=f^-1（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称得到．

函数图像的判断：

这里主要是抽象函数的图像，借助函数的对称性、周期性及单调性确定函数的图像；另外借助导数，就是函数在某点处的切线斜率的变化，体现在函数的图像上就是增长的快还是慢来确定函数的图像。

常用结论：
（1）若函数y=f(x)定义域内任一x的值都满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图像关于直线

成轴对称图形；特别地，y=f(x)满足

恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形；
（2）函数y=f(x)的图像关于直线x=a及x=b对称，则y=f(x)是周期函数，且2|b-a|是它的一个周期。