定义在D上的函数f，如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f|≤M成立，则称f是D上的有界函数，其中M称为函数f的上界，已知

题文

定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax²
（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；
（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=1+x﹣x²=﹣（x﹣

 ）²+


  ∴f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1
∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（﹣∞，1）
因此|f（x）|的取值范围是[0，+∞）
∴不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数．
（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，
则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即﹣3≤f（x）≤3
∴﹣3≤ax²+x+1≤3
∴

 ≤a≤ 

，即﹣

 ﹣

 ≤a≤ 

﹣

 在[1，4]上恒成立，
∴（﹣

 ﹣

 ）_max≤a≤（

 ﹣

 ）_min，
令t=

 ，则t∈[ 

，1]
设g（t）=﹣4t²﹣t=﹣4（t+

 ）2+ 

，则当t= 

时，g（t）的最大值为﹣


再设h（t）=2t²﹣t=2（t﹣

 ）2﹣

 ，则当t=

 时，h（t）的最大值为﹣


  ∴（﹣

 ﹣

 ）_max=﹣

 ，（ 

﹣

 ）_min=﹣


  所以，实数a的取值范围是[﹣

 ，﹣ 

]．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“定义在D上的函数f（x），如果满足.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。