题文
对于函数
，若存在区间
，使得
，则称函数
为“和谐函数”，区间
为函数
的一个“和谐区间”．给出下列4个函数：
①
；②
；③
； ④
．
其中存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为 （ ）A．①②③B．②③④C．①③D．②③ 题型：未知 难度：其他题型
答案
Ｄ点击查看函数图象知识点讲解,巩固学习
解析
对于①，由于函数
的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0，1]为函数的一个“和谐区间”；同时当A=[-1，0]时也是函数的一个“和谐区间”，∴不满足唯一性；
对于②，由于
=2x2-1，当A=[-1，1]时，
∈[-1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[-1，1]一个．∴
=2x2-1满足题意；
对于③，由指数函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数
=|2x-1|的“和谐区间”，由指数函数的图象可和，满足条件的集合只有A=[0，1]一个．∴
=|2x-1|满足题意；
对于④，由于
=ln（x+1）单调递增，且函数的定义域为（-1，+∞），若存在“和谐区间”，则满足
，∴m，n是方程
的两个根，设
，
，当x＞0时，
＞0，此时函数
单调递增，当-1＜x＜0时，
＜0，此时函数
单调递减，且
，故
=ex-x-1=0有且只有一个解，故
=ln（x+1）不存在“可等域区间”．故存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为：②③．故选：D．
考点
据考高分专家说，试题“对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“.....”主要考查你对 [函数图象 ]考点的理解。 函数图象定义：
点集{（x，y）|y=f（x）}叫做函数y=f（x）的图像。
函数图像的画法：
（1）描点法：
一般我们选择一些特殊点（包括区间端点、最值点、极值点、函数图像与坐标轴的交点等）。
（2）用函数的性质画图
一般我们选择先确定函数的定义域，再看函数是否具有周期性和对称性、奇偶性，这样我们就可以只画出部分图像，之后根据性质直接得到其余部分的图像，然后判断单调性，确定特殊点或渐近线，进而得到函数的大致图像。
（3）通过图像变换画图
（一）平移变化：
Ⅰ水平平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位即可得到；
Ⅱ竖直平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位即可得到．
（二）对称变换：
Ⅰ函数y=f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于y轴对称即可得到；
Ⅱ函数y=-f（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于x轴对称即可得到；
Ⅲ函数y=-f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于原点对称即可得到；
Ⅳ函数y=f-1（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称得到．
函数图像的判断：
这里主要是抽象函数的图像，借助函数的对称性、周期性及单调性确定函数的图像；另外借助导数，就是函数在某点处的切线斜率的变化，体现在函数的图像上就是增长的快还是慢来确定函数的图像。
常用结论：
（1）若函数y=f(x)定义域内任一x的值都满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图像关于直线
成轴对称图形；特别地，y=f(x)满足
恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形；
（2）函数y=f(x)的图像关于直线x=a及x=b对称，则y=f(x)是周期函数，且2|b-a|是它的一个周期。
