集合A是由适合以下性质的函数f构成的：对于任意的，且u、υ∈，都有|f﹣f|≤3|u﹣υ|．判断函数是否在集合A中？并

题文

集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于任意的，且u、υ∈（﹣1，1），都有|f（u）﹣f（υ）|≤3|u﹣υ|．
（1）判断函数

 是否在集合A中？并说明理由；
（2）设函数f（x）=ax²+bx，且f（x）∈A，试求2a+b的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若f（2）=6，且对于满足（2）的每个实数a，存在最小的实数m，使得当x∈[m，2]时，|f（x）|≤6恒成立，试求用a表示m的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）f₁（x）∈A，任取u、υ∈（﹣1，1），且u≠υ，则


因为|u|＜

，|υ|＜

，且|u+υ|≤|u|+|υ|
所以

＜1
所以|f₁（u）﹣f₁（2）|＜|u﹣υ|＜3|u﹣υ|，亦即f₁（x）∈A
（2）因为f（x）=ax²+bx属于集合A，所以，任取u、υ∈（﹣1，1）且u≠υ，
则3|u﹣υ|≥|f（u）﹣f（υ）|=|（u﹣υ）（au+aυ+b）|，也即|au+aυ+b|≤3  ①
设t=u+υ，则上式化为|at+b|≤3②
因为u，υ∈（﹣1，1），所以﹣2＜t＜2
①式对任意的u，υ∈（﹣1，1）恒成立，即②式对t∈（﹣2，2）恒成立可以证明|2a|+|b|≤3，所以|2a+b|≤3，
即2a+b∈[﹣3，3]
（3）由f（2）=6可知2a+b=3
又由（2）可知﹣3≤2a+b≤3，所以

，
当a=0时，b=3，f（x）=3x在[m，2]上为单调递增函数，f（m）=3m，f（2）=4
令3m=﹣6，可得m=﹣2
当a＞0时，

．
此时，

，
且当x∈R时f（x）的最小值为


若

，即

时，m为方程f（x）=6的较小根，
所以


若

＜﹣6，即0＜a＜

时，
由于f（x）在

上单调递增，
所以m为方程f（x）=﹣6的较大根，所以

，
综上可知，m=

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“集合A是由适合以下性质的函数f（x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。