教案示例
§ 24.3 命题与证明
一、教学目标
( 一 ) 知识目标
1. 了解证明以及证明的必要性
2. 能将一些文字命题转化为数学问题，并进行证明
3. 掌握证明的步骤，证明过程中使用规范性语言
4. 能用举反例的方法证明或判断简单的假命题
( 二 ) 能力目标
1. 培养学生规范的数学解题能力
2. 培养学生分析问题、解决问题的能力
( 三 ) 情感目标
培养学生具有敢于质疑的意识，同时又有尊重客观事实的科学态度，培养学生勇于探索，创新，解疑的科学精神
二、教学重点
将文字命题转化为数学问题，并进行证明；证明过程中规范性语言的使用
三、教学难点
将文字命题转化为数学问题，如何正确写出“已知”、“求证”
四、教学方法
引导法，探究法
五、教学用具
多媒体 .
六、教学过程
( 一 ) 引入
一个同学在画图时发现，三角形的三条边上的高的交点在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形的三条边上的高的交点都在三角形的内部，他的结论正确吗？
( 二 ) 新课
由上面的事例说明：通过特殊的事例或实践活动得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，这样的结论需要进一步的证实 . 那么，怎样来证实呢？那就是证明
根据题设、定义、公理以及定理等、经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明
下面，我们通过证明命题“两直线平行，同旁内角互补”来了解什么是证明
例 1 证明：两直线平行，同旁内角互补
分析：首先弄清命题的题设和结论，其次将命题的题设“两条平行直线被第三条直线所截”转化为数学的符号语言“已知：直线 a ∥ b ，直线 分别与直线 a 、 b 相交于点 A 、 B ”，再把结论“同旁内角互补”转化为数学的符号语言“求证：∠ 1+ ∠ 2 = 10 °”，同时要画出图形
图 1
已知：如图 1 ，直线 a ∥ b ，直线 分别与直线 a 、 b 相交于点 A 、 B.
求证：∠ 1+ ∠ 2 = 10 °
证明：因为 a ∥ b( 已知 ) ，
所以 ∠ 1= ∠ 3( 两直线平行，同位角相等 ).
又因为 ∠ 3+ ∠ 2=10 ° ( 邻补角定义 ) ，
所以 ∠ 1+ ∠ 2=10 ° ( 等量代换 )
由例 1 可知以下两点
1 、文字命题的证明要求：写出“已知”、“求证”、“证明”，并画出图形
2 、证明的一般过程：由题设 ( 已知条件 ) 出发，经过一步步的逻辑推理，最后推出结论 ( 求证 ) 的正确过程 .
注意：证明过程的每一步推理都要有理有据，也就是根据定义、公理和定理
例 2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等
引导学生画出符合条件的图形，再试写出“已知”、“求证”，并进行证明 . 分析：首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明
思路，最后写出证明的过程；由题意分析，可以先证明含中线的某两个三角形全等，再证得中线相等
已知：如图 2 ，在△ AB 中， AB = A ，点 E 、 F 分别是 A 、 AB 的中点 .
求证： BE = F
证明：因为点 E 、 F 分别是 A 、 AB 的中点 ( 已知 ) ，所以
AE = A ， AF = AB( 中点定义 )
因为 AB = A( 已知 ) ，
所以 AE = AF( 等量代换 )
在△ ABE 和△ AF 中，因为
AB = A( 已知 ) ，
∠ BAE = ∠ AF( 公共角 ) ，
AE = AF( 已证 ) ，
所以 △ ABE ≌△ AF(S.A.S.)
因此 AE = AF( 全等三角形的对应边相等 )
例 3 求证：有一条直角边及斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形全等
分析：首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明思路，最后写出证明的过程
图 3
已知：如图 3 ，在△ AB 和△ A’B’’ 中，∠ AB = ∠ A’’B’ = 90 °， A = A’’ ， D ⊥ AB 于 D ， ’D’ ⊥ A’B’ 于 D’ ，且 D = ’D’
求证： Rt △ AB ≌ Rt △ A’B’’
分析： (1)Rt △ AB 与 Rt △ A’B’’ 中已满足全等的什么条件？ (A = A’’ ，∠ AB = ∠ A’’B’ = 90 ° )
(2) 还需补充什么条件两三角形全等？ (B = B’’ ，或 AB = A’B’ ，或∠ B = ∠ B’ ，或∠ A = ∠ A’)
(3) 选择哪个条件 ?( ∠ A = ∠ A’)
(4) 为什么？ ( 已有条件 A = A’’ ， D = ’D’)
即先证明 Rt △ AD ≌ Rt △ A’’D’ ，再证明 Rt △ AB ≌ Rt △ A’B’’
请小组同学共同完成证明过程 ( 略 )
文字命题证明的一般过程：
首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明思路，最后由题设 ( 已知条件 ) 出发，经过一步步的逻辑推理，写出结论 ( 求证 ) 的正确证明过程
例 4 试说明“两个锐角的和等于直角”是假命题
分析：对假命题的证明，用举反例的方法证明
举反例：就是要证明或判断一个命题是假命题，只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子即可
解 设两个锐角都为 30 °，则两个锐角的和为 60 °，不等于 90 °，所以这个命题是假命题
( 三 ) 小结
1 、证明的一般步骤；
2 、用举反例的方法证明或判断简单的假命题
