角的平分线 ?? 初中数学第四册教案
3．9角的平分线
教学目标
1 ．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．
2 ．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．
3 ．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。
教学重点和难点
角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．
性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．
教学过程设计
一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明
1 ，复习引入课题．
（ 1 ）提问关于直角三角形全等的判定定理．
（ 2 ）让学生用量角器画出图 3 － 6 中的 ∠AB 的角
平分线 ．
2 ．画图探索角平分线的性质并证明之．
（ 1 ）在图 3 － 6 中，让学生在角平分线 上任取一
点 P ，并分别作出表示Ｐ点到 ∠AB 两边的距离的线段
PD ， PE ．
（ 2 ）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．
3 ．逆向思维探求角平分线的判定定理．
（ 1 ）让学生将定理 1 的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理 2?? 角平分线的判定定理．
（ 2 ）教师随后强调定理 1 与定理 2 的区别：已知角平分线用性质为定理 1 ，由所给条件判定出角平分线是定理 2 ．
（ 3 ）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程．
4 ．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．
（ 1 ）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．
（ 2 ）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．
由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．
二、应用举例、变式练习
练习 1 填空：如图 3 － 6 （ 1 ） ∵ 平分 ∠AB ，点 P 在射线 上， PD⊥A 于 D
PE⊥B 于 E ． ∴--------- （角平分线的性质定理）．
（ 2 ） ∵PD⊥A ， PE⊥B ， ----------∴ P 平分 ∠AB （ ------------- ）
例 1 已知：如图 3 － 7 （ a ）， AB 的角平分线 BD 和 E 交于 F ．
（ l ）求证： F 到 AB ， B 和 A 边的距离相等；
（ 2 ）求证： AF 平分 ∠BA ；
（ 4 ）怎样找 △AB 内到三边距离相等的点？
（ ）若将 “ 两内角平分线 BD ， E 交于 F” 改为 “△AB 的两个外角平分线 BD ， E 交于 F ，如图 3-7 （ b ），那么（ 1 ）～（ 3 ）题的结论是否会改变？怎样找 △AB 外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？
说明：
（ 1 ）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（ 1 ）题）和判定定理（第（ 2 ）题）的目的．
（ 2 ）此题提供了证明 “ 三线共点 ” 的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。
（ 3 ）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（ ）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力．
练习 3 已知：如图 3 － ，在四边形 ABD 中， AB ＝ AD ， AB⊥B ， AD⊥D ．求证：点 在 ∠DAB 的平分线上．
分析：证明第（ 1 ）题时，利用 “ 等角的余角相等 ” 可得到 ∠E ＝ ∠ED ，再利用角平分线的性质定理得到 ＝ D ．这样处理，可避免证明两个三角形全等．
练习 4 课本第 4 页的练习 .
说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力．
三、互逆命题，互逆定理的定义及应用
1 ．互逆命题、互逆定理的定义．
教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子．教师强调 “ 互逆命题 ” 是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题．
2 ．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题．
例 3 写出下列命题的逆命题，并判断（ 1 ）～（ ）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：
（ 1 ）两直线平行，同位角相等；
（ 2 ）直角三角形的两锐角互余；
（ 3 ）对顶角相等；
（ 4 ）全等三角形的对应角相等；
（ ）如果 |x| ＝ |y| ，那么 x ＝ y ；
（ 6 ）等腰三角形的两个底角相等；
（ 7 ）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（ 6 ）题的逆命题不能说成是 “ 两底角相等的三角形是等腰三角形 ” ．
3 ．理解互逆命题、互逆定理的有关结论．
例 4 判断下列命题是否正确：
（ 1 ）错误的命题没有逆命题；
（ 2 ）每个命题都有逆命题；
（ 3 ）一个真命题的逆命题一定是正确的；
（ 4 ）一个假命题的逆命题一定是错误的；
（ ）每一个定理都一定有逆定理．
通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义．
四、师生共同小结
1 ．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？
2 ．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
3 ．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？
五、作业
课本第 页第 3 ， ， 6 ， 7 ， ， 9 题．
课堂教学设计说明
本教学设计需 2 课时完成．
角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能展示知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高兴趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性．
3．9角的平分线
教学目标
1 ．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．
2 ．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．
3 ．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。
教学重点和难点
角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．
性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．
教学过程设计
一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明
1 ，复习引入课题．
（ 1 ）提问关于直角三角形全等的判定定理．
（ 2 ）让学生用量角器画出图 3 － 6 中的 ∠AB 的角
平分线 ．
2 ．画图探索角平分线的性质并证明之．
（ 1 ）在图 3 － 6 中，让学生在角平分线 上任取一
点 P ，并分别作出表示Ｐ点到 ∠AB 两边的距离的线段
PD ， PE ．
（ 2 ）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．
3 ．逆向思维探求角平分线的判定定理．
（ 1 ）让学生将定理 1 的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理 2?? 角平分线的判定定理．
（ 2 ）教师随后强调定理 1 与定理 2 的区别：已知角平分线用性质为定理 1 ，由所给条件判定出角平分线是定理 2 ．
（ 3 ）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程．
4 ．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．
（ 1 ）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．
（ 2 ）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．
由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．
二、应用举例、变式练习
练习 1 填空：如图 3 － 6 （ 1 ） ∵ 平分 ∠AB ，点 P 在射线 上， PD⊥A 于 D
PE⊥B 于 E ． ∴--------- （角平分线的性质定理）．
（ 2 ） ∵PD⊥A ， PE⊥B ， ----------∴ P 平分 ∠AB （ ------------- ）
例 1 已知：如图 3 － 7 （ a ）， AB 的角平分线 BD 和 E 交于 F ．
（ l ）求证： F 到 AB ， B 和 A 边的距离相等；
（ 2 ）求证： AF 平分 ∠BA ；
（ 4 ）怎样找 △AB 内到三边距离相等的点？
（ ）若将 “ 两内角平分线 BD ， E 交于 F” 改为 “△AB 的两个外角平分线 BD ， E 交于 F ，如图 3-7 （ b ），那么（ 1 ）～（ 3 ）题的结论是否会改变？怎样找 △AB 外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？
说明：
（ 1 ）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（ 1 ）题）和判定定理（第（ 2 ）题）的目的．
（ 2 ）此题提供了证明 “ 三线共点 ” 的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。
（ 3 ）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（ ）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力．
练习 3 已知：如图 3 － ，在四边形 ABD 中， AB ＝ AD ， AB⊥B ， AD⊥D ．求证：点 在 ∠DAB 的平分线上．
分析：证明第（ 1 ）题时，利用 “ 等角的余角相等 ” 可得到 ∠E ＝ ∠ED ，再利用角平分线的性质定理得到 ＝ D ．这样处理，可避免证明两个三角形全等．
练习 4 课本第 4 页的练习 .
说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力．
三、互逆命题，互逆定理的定义及应用
1 ．互逆命题、互逆定理的定义．
教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子．教师强调 “ 互逆命题 ” 是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题．
2 ．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题．
例 3 写出下列命题的逆命题，并判断（ 1 ）～（ ）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：
（ 1 ）两直线平行，同位角相等；
（ 2 ）直角三角形的两锐角互余；
（ 3 ）对顶角相等；
（ 4 ）全等三角形的对应角相等；
（ ）如果 |x| ＝ |y| ，那么 x ＝ y ；
（ 6 ）等腰三角形的两个底角相等；
（ 7 ）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（ 6 ）题的逆命题不能说成是 “ 两底角相等的三角形是等腰三角形 ” ．
3 ．理解互逆命题、互逆定理的有关结论．
例 4 判断下列命题是否正确：
（ 1 ）错误的命题没有逆命题；
（ 2 ）每个命题都有逆命题；
（ 3 ）一个真命题的逆命题一定是正确的；
（ 4 ）一个假命题的逆命题一定是错误的；
（ ）每一个定理都一定有逆定理．
通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义．
四、师生共同小结
1 ．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？
2 ．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
3 ．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？
五、作业
课本第 页第 3 ， ， 6 ， 7 ， ， 9 题．
课堂教学设计说明
本教学设计需 2 课时完成．
角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能展示知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高兴趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性．
