运用公式法
教学 设计示例
运用公式法――完全平方公式(1)
教学 目标
1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；
2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.
3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．
4．通过运用公式法分解因式的 教学 ，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。
教学 重点和难点
重点：运用完全平方式分解因式.
难点：灵活运用完全平方公式公解因式.
教学 过程 设计
一、复习
1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?
答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式：
(1)ax 4 －ax 2 (2)16 4 －n 4 .
解 (1) ax 4 －ax 2 =ax 2 (x 2 －1)=ax 2 (x+1)(x－1)
(2) 16 4 －n 4 =(4 2 ) 2 －(n 2 ) 2
=(4 2 +n 2 )(4 2 －n 2 )
=(4 2 +n 2 )(2+n)(2－n).
问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?
答：有完全平方公式.
请写出完全平方公式.
完全平方公式是：
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 , (a－b) 2 =a 2 －2ab+b 2 .
这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.
二、新课
和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到
a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ； a 2 －2ab+b 2 =(a－b) 2 .
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a 2 +2ab+b 2 及a 2 －2ab+b 2 叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.
问：具备什么特征的多项是完全平方式?
答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.
问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?
(1)x 2 +6x+9； (2)x 2 +xy+y 2 ；
(3)2x 4 －10x 2 +1； (4)16a 2 +1.
答：(1)式是完全平方式.因为x 2 与9分别是x的平方与3的平方，6x=2?x?3，所以
x 2 +6x+9=(x+3) .
(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.
(3)是完全平方式.2x =(x ) ，1=1 ，10x =2?x ?1，所以
2x －10x +1=(x－1) .
(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.
请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?
答：完全平方公式为：
其中a=3x，b=y，2ab=2?(3x)?y.
例1 把2x 4 +10x 2 +1分解因式.
分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“2x 4 ”是(x 2 )的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x 2 ”是x 2 与1的积的2倍.所以多项式2x 4 +10x 2 +1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.
解 2x 4 +10x 2 +1=(x 2 ) 2 +2?x 2 ?1+1 2 =(x 2 +1) 2 .
例2 把1－ + 分解因式.
问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?
答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“ ”是 的平方，第二项“－ ”是1与/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.
解法1 1－ + =1－2?1? +（ ） 2 =（1－ ） 2 .
解法2 先提出 ，则
1－ + = (16－+ 2 )
= (4 2 －2?4?+ 2 )
= (4－) 2 .
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