第五册二次函数教学设计
教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第 10 页
教学目标：
1. 1. 理解二次函数的意义；会用描点法画出函数 y=ax 2 的图象，知道抛物线的有关概念；
2. 2. 通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；
3. 3. 通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法； 加深对于数形结合思想认识。
教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。
教学难点：描点法画二次函数 y=ax 2 的图象，数与形相互联系。
教学过程设计：
一. 一 . 创设情景、建模引入
我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：
1. 写出圆的半径是 R （ ），它的面积 S （ 2 ）与 R 的关系式
答： S= π R 2 . ①
2 . 写出用总长为
答： S=L （ 30-L ） =
分析：①②两个关系式中 S 与 R 、 L 之间是否存在函数关系？
S 是否是 R 、 L 的一次函数？
由于①②两个关系式中 S 不是 R 、 L 的一次函数，那么 S 是 R 、 L 的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？
答：二次函数。
这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）
二. 二 . 归纳抽象、形成概念
一般地，如果 y=ax 2 +bx+(a ， b ， 是常数， a≠0) ，
那么， y 叫做 x 的二次函数 .
注意： (1) 必须 a≠0, 否则就不是二次函数了 . 而 b, 两数可以是零 .(2) 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以 x 的取值范围是任意实数 .
练习： 1. 举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。
2. 出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。
（若学生考虑不全，教师给予补充。如：
（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）
由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。
（ 在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。 ）
三. 三 . 尝试模仿、巩固提高
让我们先从最简单的二次函数 y=ax 2 入手展开研究
1. 1. 尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？
请同学们画出函数 y=x 2 的图象。
（学生分别画图，教师巡视了解情况。）
2. 2. 模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数 y=x 2 的图象。
解：一、列表：
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Y=x 2 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
二、描点、连线： 按照表格，描出各点 . 然后用光滑的曲线，按照 x( 点的横坐标 ) 由小到大的顺序把各点连结起来 .
对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。
练习：画出函数
| X | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Y=0.X 2 | 4. | 2 | 0. | 0 | 0. | 02 | 4. |
| Y= -X 2 | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 |
画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数 y=ax 2 的图象是一条抛物线。
（ 这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）
三. 三 . 运用新知、变式探究
画出函数 y=x 2 图象
学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。
| x | -0. | -0.4 | -0.3 | -0.2 | -0.1 | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0. |
| Y=x 2 | 1.2 | 0. | 0.4 | 0.2 | 0.0 | 0 | 0.0 | 0.2 | 0.4 | 0. | 1.2 |
教师出示已画好的图象让学生观察
注意： 1. 画图象应描 7 个左右的点，描的点越多图象越准确。
2. 自变量 X 的取值应注意关于 Y 轴对称。
3. 对于不同的二次函数自变量 X 的取值应更加灵活，例如可以取分数。
四. 四 . 归纳小结、延续探究
教师引导学生观察 表格及图象，归纳 y=ax 2 的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：
一般的，二次函数 y=ax 2 的图象是一条抛物线，对称轴是 Y 轴，顶点是坐标原点；当 a ＞ 0 时，图象的开口向上，最低点为 (0 ， 0) ；当 a ＜ 0 时，图象的开口向下，最高点为 (0 ， 0) 。
五. 五 . 回顾反思、总结收获
在这一环节中，教师请同学们回顾一节课的学习畅谈自己的收获或多、或少、或几点、或全面，总之是人人有所得，个个有提高。这也正是新课标中所倡导的新的理念??不同的人在数学上得到不同的发展。
（ 在整个一节课上，基本上是学生讲为主，教师讲为辅。一些较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，积极尝试，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题。这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，这就给教师提出了更高的要求，一方面要控制好整节课的节奏，另一方面又要察言观色，适时地对某些观点作出判断，或与学生一同讨论。）
