如果自然数a，b，c满足a2+b2=c2，求证：a，b中至少有一个是偶数；a，b中至少有一个是3的倍数；a，b，c中至少有一个是5的倍数．

题文

如果自然数a，b，c满足a²+b²=c²，求证：
（1）a，b中至少有一个是偶数；
（2）a，b中至少有一个是3的倍数；
（3）a，b，c中至少有一个是5的倍数．

题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：运用反证法证明．
（1）假设a、b都是奇数，则c为偶数，c²为4的倍数，
设a=2m+1，b=2n+1（m、n为整数），
则a²+b²=（2m+1）²+（2n+1）²=2（2m²+2n²+2m+2n+1）
为2的奇数倍，不是4的倍数，与题设矛盾，
∴a，b中至少有一个是偶数；
（2）假设a、b都不是3的倍数，则a、b被3除余数为1或2，
a²+b²被3除余数为2，即为3m+2（m为整数），
而3m+2不是完全平方式，故假设不成立，
∴a，b中至少有一个是3的倍数；
（3）假设a、b、c都不是5的倍数，
∵完全平方数除以5余数只能0，1，4，
则a²，b²，c²，被5除后余数只能是1、1、1或1、1、4或1、4、4或4、4、4，
这些都不能使a²+b²=c²成立，
∴a、b、c不能同时不整除5．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“如果自然数a，b，c满足a2+b2=c2.....”主要考查你对 [有理数定义及分类 ]考点的理解。

有理数定义及分类

有理数的定义：
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
                              正整数 
                 整数{     零 
                              负整数
有理数{     
                            正分数 
                分数{
                            负分数
 
（2）按有理数的性质分类: 
                           正整数  
               正数{ 
                           正分数
有理数{  零
                           负整数 
               负数{
                           负分数