是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px2-qx+p=O有有理数根？

题文

是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px²-qx+p=O有有理数根？

题型：未知 难度：其他题型

答案

设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q²-4p²=n²，
规定其中n是一个非负整数．则（q-n）（q+n）=4p²．（5分）
由于1≤q-n≤q+n，且q-n与q+n同奇偶，故同为偶数，
因此，有如下几种可能情形：

q-n=2q+n=2p2、

q-n=4q+n=p2、

q-n=pq+n=4p、

q-n=2pq+n=2p、

q-n=p2q+n=4.
消去n，解得q=p2+1，q=2+p22，q=5p2，q=2p，q=2+p22．（10分）
对于第1，3种情形，p=2，从而q=5；
对于第2，5种情形，p=2，从而q=4（不合题意，舍去）；
对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．
又当p=2，q=5时，方程为2x²-5x+2=0，它的根为x1=12，x2=2，它们都是有理数．
综上所述，存在满足题设的质数．（15分）

解析

q-n=2q+n=2p2

考点

据考高分专家说，试题“是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次.....”主要考查你对 [有理数定义及分类 ]考点的理解。

有理数定义及分类

有理数的定义：
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
                              正整数 
                 整数{     零 
                              负整数
有理数{     
                            正分数 
                分数{
                            负分数
 
（2）按有理数的性质分类: 
                           正整数  
               正数{ 
                           正分数
有理数{  零
                           负整数 
               负数{
                           负分数