设ha、hb、hc是锐角△ABC三边上的高，求证：12＜ha+hb+hca+b+c＜1．

题文

设h_a、h_b、h_c是锐角△ABC三边上的高，求证：12＜ha+hb+hca+b+c＜1．

题型：未知 难度：其他题型

答案

如图，在Rt△ADC中，由于AC＞AD，故b＞h_a，
同理可证c＞h_b，a＞h_c
∴h_a+h_b+h_c＜a+b+c，即ha+hb+hca+b+c＜1①
设△ABC的垂心为H点，
由于HA+HB＞AB，HB+HC＞BC，HC+HA＞AC，即HA+HB+HC＞12(a+b+c)．
从而ha+hb+hc＞HA+HB+HC＞12(a+b+c)，即ha+hb+hca+b+c＞12②
由①、②得12＜ha+hb+hca+b+c＜1．

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解析

ha+hb+hca+b+c

考点

据考高分专家说，试题“设ha、hb、hc是锐角△ABC三边上的.....”主要考查你对 [不等式的定义 ]考点的理解。

不等式的定义

不等式的定义：
一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有“>”“<”“≤” “≥”及“≠”。
不等式组的定义：几个含有相同未知数的不等式联立起来，叫做不等式组。

不等式分类：
不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）“≥”(大于等于符号)“≤”(小于等于符号)连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为<，≥，> 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

不等式的判定：
①常见的不等号有“>”“<”“≤” “≥”及“≠”。分别读作“大于，小于，小于等于，大于等于，不等于”，其中“≤”又叫作不大于，“≥”叫作不小于；
②在不等式“a>b”或“a③不等号的开口所对的数较大，不等号的尖头所对的数较小；
④在列不等式时，一定要注意不等式关系的关键字，如：正数、非负数、不大于、小于等等。