通过观察a2+b2-2ab=2≥0可知：a2+b22≥ab，与此类比，当a≥0，b≥0时，a+b2≥______，你观察得到的这个不等式是

题文

通过观察a²+b²-2ab=（a-b）²≥0可知：a2+b22≥ab，与此类比，当a≥0，b≥0时，a+b2≥______（要求填写），你观察得到的这个不等式是一个重要不等式，它在证明不等式和求函数的极大值或者极小值中非常有用．请你运用上述不等式解决下列问题：
（1）求证：当x＞0时，x+1x≥2；
（2）求证：当x＞1时，x+1x-1≥3；
（3）2x2+1x2+1的最小值是______．

题型：未知 难度：其他题型

答案

∵（

a）²+（

b）²-2

ab=（

a-

b）²≥0，
即a+b-2

ab≥0，
∴a+b2≥

ab；
（1）证明：∵x＞0，
∴x+1x≥2

x•1x=2，
即x+1x≥2；
（2）证明：∵x＞1，
∴x+1x-1=（x-1）+1x-1+1≥2

(x-1)•1x-1+1=2+1=3，
即x+1x-1≥3；
（3）2x²+1x2+1=2（x²+1）+1x2+1-2≥2

2(x2+1)•1x2+1-2=2

2-2，
∴2x²+1x2+1的最小值为2

2-2．
故答案为：

ab，（4）2

2-2．

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解析

a

考点

据考高分专家说，试题“通过观察a2+b2-2ab=（a-b）2.....”主要考查你对 [不等式的定义 ]考点的理解。

不等式的定义

不等式的定义：
一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有“>”“<”“≤” “≥”及“≠”。
不等式组的定义：几个含有相同未知数的不等式联立起来，叫做不等式组。

不等式分类：
不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）“≥”(大于等于符号)“≤”(小于等于符号)连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为<，≥，> 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

不等式的判定：
①常见的不等号有“>”“<”“≤” “≥”及“≠”。分别读作“大于，小于，小于等于，大于等于，不等于”，其中“≤”又叫作不大于，“≥”叫作不小于；
②在不等式“a>b”或“a③不等号的开口所对的数较大，不等号的尖头所对的数较小；
④在列不等式时，一定要注意不等式关系的关键字，如：正数、非负数、不大于、小于等等。