观察下列等式，并回答有关问题：13+23=14×22×32；13+23+33=14×32×42；13+23+33+43=14×42×52；…若n为正整数，

题文

观察下列等式，并回答有关问题：
13+23=14×22×32；
13+23+33=14×32×42；
13+23+33+43=14×42×52；
…
（1）若n为正整数，猜想1³+2³+3³+…+n³=______；
（2）利用上题的结论比较1³+2³+3³+…+100³与5000²的大小．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）根据所给的数据可得：
1³+2³+3³+…+n³=14n2(n+1)2．
故答案为：14n2(n+1)2．
（2）1³+2³+3³+…+100³
=14×1002×1012
=(12×100×101)2
=5050²＞5000²，
则1³+2³+3³+…+100³＞5000²．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“观察下列等式，并回答有关问题：13+23.....”主要考查你对 [有理数的乘方 ]考点的理解。

有理数的乘方

有理数乘方的定义：
求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。
2²、7³也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。
①习惯上把2²叫做2的平方，把2³叫做2的立方；
②当地鼠是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。

乘方的性质：
乘方是乘法的特例，其性质如下：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；
（3）0的任何（除0以外）次幂都是0；
（4）a²是一个非负数，即a²≥0。

有理数乘方法则：
①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：（-2）³=-8，（-2）²=4
②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例如：2²=4,2³=8,0³=0
点拨：
①0的次幂没意义；
②任何有理数的偶次幂都是非负数；
③由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成；
④负数的乘方与乘方的相反数不同。

乘方示意图：