当a、b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．已知2=25，2=9，求xy与x2+y2的值．

题文

（1）当a、b为何值时，多项式a²+b²-4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（2）已知（x+y）²=25，（x-y）²=9，求xy与x²+y²的值．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）原式=（a²-4a+4）+（b²+6a+9）+5
=（a-2）²+（b+3）²+5，
∴当a=2，b=3时，多项式有最小值，最小值为5；
（2）∵（x+y）²=25，（x-y）²=9，
∴xy=(x+y)2-(x-y)24=25-94=4；
x²+y²=(x+y)2+(x-y)22=25+92=17．

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解析

(x+y)2-(x-y)24

考点

据考高分专家说，试题“（1）当a、b为何值时，多项式a2+b2.....”主要考查你对 [有理数的乘方 ]考点的理解。

有理数的乘方

有理数乘方的定义：
求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。
2²、7³也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。
①习惯上把2²叫做2的平方，把2³叫做2的立方；
②当地鼠是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。

乘方的性质：
乘方是乘法的特例，其性质如下：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；
（3）0的任何（除0以外）次幂都是0；
（4）a²是一个非负数，即a²≥0。

有理数乘方法则：
①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：（-2）³=-8，（-2）²=4
②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例如：2²=4,2³=8,0³=0
点拨：
①0的次幂没意义；
②任何有理数的偶次幂都是非负数；
③由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成；
④负数的乘方与乘方的相反数不同。

乘方示意图：