已知a，b，c为实数，且a2+b2+c2+2ab=1，2ab=14，一元二次方程x2-x-=0的两根为α，β

题文

已知a，b，c为实数，且a²+b²+c²+2ab=1，2ab（a²+b²+c²）=14，一元二次方程（a+b）x²-（2a+c）x-（a+b）=0的两根为α，β．试求2α³+β^-5-β^-1的值．

题型：未知 难度：其他题型

答案

由已知

(a2+b2+c2)+2ab=12ab(a2+b2+c2)=14，
得a²+b²+c²及2ab是方程t²-t+14=0的两根．
而方程t²-t+14=0的两根为t₁=t₂=12，
∴a²+b²+c²=2ab=12．
解得a=b=±12，c=0，
于是，题设方程可化为x²-x-1=0①．
由α，β是方程①的两根，
则α+β=1，且

α2-α-1=0②β2-β-1=0③．
由②得α²=α+1，
从而α³=α•α²=α（α+1）=α²+α=2α+1．
显然β≠0，
将③两边分别除以β，β²．
得1β=β-1，1β2=1-1β=2-β．
而β^-3=β^-1•β-2=（β-1）（2-β）=3β-β²-2=2β-3．
β^-5=β^-2•β^-3=（2-β）（2β-3）=7β-2β²-6=7β-2（β+1）-6=5β-8．
∴2α³+β^-5-β^-1=4（α+β）-5=-1．

点击查看有理数的乘方知识点讲解,巩固学习

解析

(a2+b2+c2)+2ab=12ab(a2+b2+c2)=14

考点

据考高分专家说，试题“已知a，b，c为实数，且a2+b2+c2.....”主要考查你对 [有理数的乘方 ]考点的理解。

有理数的乘方

有理数乘方的定义：
求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。
2²、7³也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。
①习惯上把2²叫做2的平方，把2³叫做2的立方；
②当地鼠是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。

乘方的性质：
乘方是乘法的特例，其性质如下：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；
（3）0的任何（除0以外）次幂都是0；
（4）a²是一个非负数，即a²≥0。

有理数乘方法则：
①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：（-2）³=-8，（-2）²=4
②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例如：2²=4,2³=8,0³=0
点拨：
①0的次幂没意义；
②任何有理数的偶次幂都是非负数；
③由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成；
④负数的乘方与乘方的相反数不同。

乘方示意图：