1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，…请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论．

题文

1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，…
请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论．

题型：未知 难度：其他题型

答案

显然101是质数，假设有n个1的数为An，首先A₁是一个质数，
当n≥2时An均为合数，当n为偶数时，显然An能被101整除，
当n为奇数时，An×11=111…1（共2n个1），再将它乘以9得999…9（共2n个9），即10²ⁿ-1，即An=102n-199，
即An=(10n+1)(10n-1)99=[(10n+1)11]×[10n-19]，
设(10n+1)11=a，10n-19=b，显然b是整数，
而一个数被11整除的充要条件是奇偶位和的差能被11整除，
而10ⁿ+1的奇数位和为1，偶数位和也为1，所以能被11整除，
所以a也是一个不为1的整数，所以An不是质数，所以这串数中有101一个质数．
故答案为：1．

解析

102n-199

考点

据考高分专家说，试题“1与0交替排列，组成下面形式的一串数10.....”主要考查你对 [有理数定义及分类 ]考点的理解。

有理数定义及分类

有理数的定义：
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
                              正整数 
                 整数{     零 
                              负整数
有理数{     
                            正分数 
                分数{
                            负分数
 
（2）按有理数的性质分类: 
                           正整数  
               正数{ 
                           正分数
有理数{  零
                           负整数 
               负数{
                           负分数