已知k为不超过50的正整数，使得对任意正整数n，2×36n+k×23n+1-1都能被7整除，则这样的正整数k有______个．

题文

已知k为不超过50的正整数，使得对任意正整数n，2×3⁶ⁿ+k×2³ⁿ⁺¹-1都能被7整除，则这样的正整数k有______个．

题型：未知 难度：其他题型

答案

2×3⁶ⁿ+k×2³ⁿ⁺¹-1=2×27²ⁿ+2k×8ⁿ-1=2×（28-1）²ⁿ+2k×（7+1）²ⁿ
=2×（-1）²ⁿ+2k-1=2k+1（mod7），
但2×3⁶ⁿ+k×2³ⁿ⁺¹-1=0（mod7），
2k+1=0（mod7），即2k+1=7m（m为奇数），
因为1≤k≤50，所以3≤7m≤101，
故m=1、3、…13，相应的k=3、10、…、45共7个．
故答案为7．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知k为不超过50的正整数，使得对任意正.....”主要考查你对 [有理数除法 ]考点的理解。

有理数除法

有理数除法定义：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

有理数的除法法则：
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

有理数除法注意：
①0不能做除数；
②有理数的除法和乘法是互逆运算；
③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。